Sonsuz Sınırsız mıdır?

İnsanoğlunun en çok merak ettiği konulardan bir tanesinin sonsuzluk olduğunu söyleyebiliriz. Sonsuz yaşam, sonsuz uzay ya da sonsuz enerji sözlerini sürekli duyarız. Hemen hemen herkesin işaretini bildiği “", küçük çocukların zorlukla anlamlandırmaya çalıştığı önemli kavramlardan biridir. Açıkçası kavramın öğretimi de kolay değildir.

Matematikte sonsuzluktan bahsedilirken “sayılamaz, sınırsız, çok büyük” gibi ifadelere başvurulur. Peki sonsuzlukla sayılamazlık, sınırsızlık ve çok büyüklük arasında birebir ilişki kurmak doğru mudur?

Sayılabilir olma günümüz matematiğinde önemli bir yer tutar. Bir kümenin sayılabilir olması, sayma sayıları kümesi ya da sayma sayılarının bir alt kümesi ile birebir eşlenebilir olması demektir. Nasıl mı? Örneklerle açıklayalım.

Örnek 1: Sayma sayıları kümesi sayılabilirdir.

Sayma sayıları kümesindeki her bir eleman kendisiyle birebir eşleştirilebilir. Dolayısıyla tanım olarak sayma sayıları kümesiyle eşlenebilen her küme sayılabilir olduğundan sayma sayıları kümesinin kendisi de sayılabilirdir.

Burada önemli olan tek tek sayabilmemiz ve açıkta eleman bırakmamamızdır. Açıkçası saymanın nereye gittiğiyle ilgilenmiyoruz.

Örnek 2:  Rasyonel sayılar kümesi sayılabilirdir.

İşte bunu göstermek gerçekten çok zevkli! Aşağıdaki gibi rasyonel sayıları sıraladığımızı düşünelim.

Eğer sadece bir satırı ya da sütunu doğal sayılarla eşlemeye kalkarsanız bu durumda herhangi bir ikinci satırı ya da sütunu eşleme şansınız kalmıyor. Çünkü satırlar ve sütunlar sayma sayıları kadar uzunlukta. Ancak köşegenler boyunca şekilde görüldüğü gibi eşleştirme yapıldığında rasyonel sayıların sayılabilir olduğu görülüyor. Rasyonel sayılar, sayma sayıları kadardır, dahası aynı derecede sonsuzdurlar, yani denktirler.

Görüldüğü gibi sonsuz olsa da sayabiliyoruz. Demek ki sonsuz kavramından bahsederken “sayılamaz” demek pek de doğru değil!

Peki, “sonsuz sınırsız mıdır?” Teknik açıdan bu sorunun ortaya çıkış sebebi, sayma işini sürekli sürdürerek sonsuz kavramına ulaşan öğrencilerin sonsuzu sınırlarla bağdaştıramamasıdır. Özellikle öğrencilerin ilkokul 3 ve 4. sınıflarda karşılaştıkları doğru, düzlem gibi kavramların bunda etkili olduğunu düşünüyorum.

Sayılar için sınır dediğimiz nedir? Aslında bu soruyu çok basit bir biçimde açıklamak mümkün. Örneğin elimizde  kümesinin olduğunu düşünelim.

Bu kümenin her bir elemanından büyük ya da eşit bir eleman bulabilirseniz A kümesinin üstten sınırlı olduğunu söyleyebilirsiniz. Örneğin 27, 28 ve 1338 sayıları A kümesindeki tüm elemanlardan ya daha büyüktür ya da eşittir. Dolayısıyla A kümesinin bir üst sınırı vardır, yani A kümesi üstten sınırlı bir kümedir. Benzer şekilde, her bir elemanından küçük ya da eşit bir eleman bulabilen kümelere alttan sınırlı kümeler denir. Mesela A kümesi için 3, 2, -1, -1000 sayıları alt sınırdır. Dolayısıyla A kümesi sadece üstten değil aynı zamanda alttan da sınırlıdır. Hem alttan hem de üstten sınırlı olan kümelere kısaca sınırlı kümeler denir. Ne bir alt sınırı ne de bir üst sınırı olan kümelerse sınırsız kümeler olarak adlandırılır.

Sonsuz sayıda elemanı olan doğal sayılar kümesini ele alalım. Bu küme alttan sınırlıdır. Çünkü her bir elemanından küçük ya da eşit bir eleman bulmak mümkündür. Örneğin -1 tüm doğal sayılardan küçüktür. Diğer taraftan doğal sayıların her birinden büyük bir sayı bulamazsınız. Çünkü doğal sayılar sonsuza kadar giderek artar. Dolayısıyla doğal sayılar üstten sınırsızdır.

Şimdi de reel sayılar kümesinin bir alt kümesi olan [0,1] sayı aralığını düşünelim. 1 sayısı bu aralıktaki tüm sayılardan büyük olduğu için doğal olarak bir üst sınırdır. Benzer şekilde 0 sayısı aralıktaki tüm sayılardan küçük olduğu için bir alt sınırdır. O halde [0,1] aralığının sınırlı bir aralık olduğunu söyleyebiliriz. Peki [0,1] aralığında kaç sayı vardır? Çok! Hatta o kadar çok ki reel sayılar kadar, sayı doğrusundaki her bir nokta kadardır demek yanlış olmaz. Demek ki sonsuz olmak, sınırsız olmak demek de değil. Sonsuz elemanlı olup sınırlı olmak da mümkün! O halde sonsuzu öğrenirken sınırsız kelimesi de bizi yanıltabilir!

“Sonsuz çok büyüktür” demek de benzer şekilde sorunlu mudur? Aynen öyle! Hatta bu matematiğin en güzel ve en özel sayılarını dışlamak demektir. “Sonsuz küçükler hesapları” analizin yapı taşıdır diyebiliriz. Bu durumu açıklamak için sevgili Newton’a atıf yapalım ve bir elma düşünelim. Elmamızı ikiye bölelim ve elimize bir parçasını alalım. Bu işlemi sürekli sürdürürsek (aramızda bazen sonsuza dek sürdürürsek deriz) elimizdeki elma yok olur mu? Aslında olmaz ama o kadar küçülür ki neredeyse hiç kalmaz, yani sıfıra çok yakındır ama inanın ne kadar yakın onu bile bilemiyoruz. İşte biz bu kadar küçük şeylerin sonsuz küçüklükte olduğunu söylüyoruz. Sonsuz küçükler sayesinde birçok hesabın çok daha kolay yapıldığını söyleyebiliriz. O halde sonsuz kavramından bahsederken bastıra bastıra çok büyük demek de pek iyi gözükmüyor.

Peki, sonsuz nedir?

Sonsuz kavramının tanımını yapan kişi Cantor’dur. Alman matematikçi ayrıca reel sayıların sonsuzluğunun doğal sayıların sonsuzluğundan daha büyük olduğunu da ispatlamıştı! Nasıl yani, “birbirinden büyük sonsuzlar mı?” Aynen öyle. Bunu başka bir yazıya bırakacağız. Şimdi, Cantor’un sonsuz tanımını açıklayalım.

Tanım 1 (Denk Kümeler) :

İki küme arasında 1-1 eşleme (açıkta eleman kalmamalı) yapmak mümkünse kümeler denktir.

Tanım 2 (Sonsuz Küme) :

Kendisi ve boş küme hariç herhangi bir alt kümesine (öz alt küme) 1-1 eşlenebilen kümeye sonsuz küme denir.

Nasıl mı? Aslında yıllardır yapıyorsunuz, belki de farkında değilsiniz. Doğal sayıları ve çift doğal sayıları düşünelim. Çift doğal sayılar, doğal sayıların bir öz alt kümesidir, çünkü her elemanı doğal sayılar kümesinin de elemanıdır. Aşağıdaki gibi bir eşleme yaparsanız ne doğal sayılarda ne de çift doğal sayılarda hiçbir eleman açıkta kalmaz, yani 1-1 eşlenebilir ve denktirler. Düşünün kendi öz alt kümesine denk! Ve tabii ki sonlu kümelerde bu mümkün değildir.

Bu durumda Cantor’un tanımıyla sonsuz küme kavramının nasıl enteresan bir hal aldığını görüyoruz. Farkında mısınız? Cantor, sonsuz küme tanımında “sayılamaz, sınırsız, çok büyük” gibi kelimelerden hiçbirini kullanmamıştır. Açıkçası bu kelimelerden hiçbiri sonsuz kavramını doğru şekilde aktarmak için uygun değildir.

Daha ayrıntılı yazı için buraya tıklayınız.

Türev ve integrali anlamak

             TÜREV VE İNTEGRALİ ANLAMAK

Türev ve integral, matematiğin en önemli konseptlerinden ikisidir. Günümüzde okullarda (liselerde) bu ikili çok yüzeysel bir şekilde ve çoğunlukla tamamen ezbere dayalı olarak anlatılmaktadır. Özellikle de bu kavramların ne anlama geldiği öğrenciye anlatılmadan, sadece nasıl çözüleceği üzerinden anlatım yapılmaktadır. Örneğin türev için "sayının üssünü katsayı olarak önüne al ve üssü 1 azalt" denmekte, integrali anlatmak içinse "üssü 1 arttırıp, aynı sayıyı payda olarak sayının altına yaz" gibi kalıp halinde ve algılamanın imkansız olduğu bir biçimde anlatılmaktadır. İyi, bu işlemleri yapalım da... Neden? Ne işe yarıyor? Ya da öğrencilerin daha sık sorduğu şekliyle: Gerçek hayatta ne işimize yarayacak?

En başından şu kadarını söyleyeyelim: 21. yüzyıl itibariyle gördüğünüz teknolojilerin neredeyse istisnasız olarak her biri, türev ve integrale dayalıdır! 

Görseldeki İntegrali Anlamak

İntegral ise, belli bir değerin, belli bir diğer değere göre değişiminin toplamıdır. Örneğin damlatan tavanımızın hızının giderek arttığını düşünelim. 24 saatlik bir süre zarfında, kaç kova dolusu su birikeceğini, integral hesabıyla bulabiliriz. Ana görselimizdeki "edebî integrali" ele alalım. Her ne kadar bilimsel geçerliliği tartışılır olsa da, integral hesaplarında yer alan değerleri anlamak için faydalı olduğu için bu örneği vermek istedik.

Öncelikle, denklemde sol tarafta belirtilen "yaşam", integral işleminin sonucudur. Yani integral hesabını yaparak tanımlamak istediğimiz şey, yaşamdır.

Burada, örneklemek bakımından şu edebi cümleyi düşünelim: "Yaşam, ömrünüz boyunca geçirdiğiniz zamanda aldığınız mutlulukların toplamından ibarettir."

Bu cümlenin integral ifadesi, görseldeki gibidir. Adım adım takip edelim:

• Önce, değişken belirlenmelidir. Burada değişen şey, zamandır.

• Sonrasında, hesaplamak istediğimiz şey belirlenir: mutluluk. Yani sözün iddia ettiği gibi, mutluluğun zaman içerisindeki birikimini hesaplamak istiyoruz. Bunun, yaşama eşit olduğunu iddia edeceğiz.

• İntegral işareti (uzunca bir S şeklinde olan işaret) altına, değişkenin (bu durumda "zaman") başlangıcı yazılır: doğum.

• Üstüne, hesaplanmak istenen aralığın sonu yazılır: ölüm.

• İntegralin iç kısmına, hesaplanmaya çalışılan şey yazılır. Bu durumda, "zaman başına düşen mutluluk" hesaplanmaktadır. Dolayısıyla "mutluluğun zamana bölümü" yazılmıştır. Benzer bir hesap, sadece "mutluluk" olarak da yapılabilirdi. Bu örnekte, zaman başına düşen mutluluk yazılmıştır.

•Son olaraksa, değişken Δ işaretiyle (ya da genelde "d" harfiyle) birlikte yazılır. Δzaman, "birim zaman" demektir.

İşte oldu! Zaman (ya da birim zaman) başına düşen mutluluğun birikimini, doğumdan ölüme kadar, birim zaman aralıkları boyunca hesapladık. Bunu da yaşama eşitledik!

Aynı örnek üzerinden gidilecek olursa türev, iki birim zaman arasındaki mutluluk miktarınızın değişimiyken; integral, birim zamanlar boyunca belli bir aralıkta tüm bu mutluluk değerlerinin bir toplamıdır. Bu örnekteki temel nokta, "mutluluk" değerinin matematiksel ifadesidir. İntegral içerisinde toplamak istediğimiz olgunun matematiksel ifadesi önemlidir. Yani edebi bir anlatım yapmıyor olsaydık da, mutluluk yerine yazacağımız şeyi (örneğin değişen hızlarda damlatan bir çatıyı) matematiksel olarak tanımlamamız gerekirdi. Örneğin, mutluluğu yaşamdaki ufak başarılar olarak tanımlayacak olursak, bunu "belli bir düzeni takip eden birden fazla terimin toplamı" anlamına gelen meşhur ∑ işaretiyle ifade edip, görselde "mutluluk" yerine ∑(küçük başarılar) yazabilirdik. Daha sonra bunu bir matematiksel formüle dönüştürebilir ve liselerde öğrendiğimiz yöntemleri kullanarak o formülün integralini alabilirdik. Ancak burada önemli olan, integralin nasıl alındığı değil; neden alındığı. Amacımız, mutluluğu doğumdan ölüme kadar, ufak zaman aralıklarını takip eden bir seri halinde toplamak. Böylece "yaşam"ı elde ediyoruz. En azından edebiyatçılardan bir kısmı öyle diyor.

Bu, gerçek hayatta gerçek sorunlarla boğuşan bilim insanlarının yaptığı şeydir. Belli bir zaman boyunca değişen parametreleri tespit ederler, bunların değişimlerini matematiksel olarak modellerler ve integrali kullanarak toplam değişim miktarını belirleyebilirler. İntegralin nasıl çözüleceği, liselerde öğrendiğimiz metotlara kalmıştır. Bu metotları ezberleyebilir veya neden o şekilde çalıştıklarını düşünerek özümseyebilirsiniz. 

Grafiklerin Türev ve İntegralini Anlamak

Bu noktada, okullarda kalıp halinde öğretilen bir diğer nokta da anlaşılır hale gelebilir. Lisede hep şuna benzer bir şey söylerler: "Türev, grafikte belli bir noktaya çizilen teğet çizgisinin eğimiyle ifade edilir."

İyi de neden?

Türevin anlamını hatırlayın: değişim! Elimizdeki grafik (ya da "geometrik eğri"), tıpkı yukarıda anlattığımız "mutluluğun matematiksel tanımı" gibi, bir şeyi grafiksel olarak tanımlayan bir çizgidir. Bunun herhangi bir noktasındaki (eğer zamana bağlı türev alıyorsak, herhangi bir "anındaki") değişim, eğri üzerinde spesifik olarak o noktadan bir sonraki noktaya geçerken ne kadar değişim geçirmemiz gerektiğidir. Bunu tam olarak tespit etmek mümkün değildir, ancak o noktada grafiğe çizilen bir teğet, tıpkı bir "kaydırak" görevi görecek ve dikkate aldığımız noktadan, bir sonraki noktaya olan gidişatı belirleyecektir. O kaydırak ne kadar "dik" ise, o kadar hızlı bir değişim var demektir: çünkü dik bir kaydıraktan, hızlı bir şekilde kayabilirsiniz. Değişim, çok hızlı olur. O teğet ne kadar yataysa, değişim o kadar azdır. Çünkü yatay bir kaydırakta çok yavaş ilerleyebilirsiniz, konumunuzun değişimi çok azdır! Yani gerçek hayattaki bir kaydırak, sizin bir noktadan bir sonraki noktaya gidişinizi gösteren bir türev eğrisi gibi düşünülebilir.

İntegral ise, bir eğrinin altında kalan her şeyin toplamıdır. Zaten tanımı gereği, integralin "iki aralık arasında değişen bir değişkenin toplamı" olarak izah edildiğini hatırlayın. Bu sebeple, bir hız-zaman grafiğinin yatay eksen ile arasındaki toplam alan, alınan toplam yolu verir. Bunu iki açıdan düşünebilirsiniz: İlki, fiziktir. Liselerde ezberlediğimiz bir diğer cümleyi ele alalım: "Konum, hızın zamana göre integralidir." Dolayısıyla hız grafiğinin altındaki alan, integrale denk geldiğinden, toplam konum değişiminin verir. Anlaması, lisedeki gibi zor, değil mi? Ancak ikinci yöntem, integralin basamak basamak toplamak olduğunu düşünmektir. Belli bir hızla hareket eden bir cisim, her saniye belli bir miktar yol kat eder. Bu yolların toplamı, iki zaman sınırı arasında alınan toplam yola eşittir. İşte bunu kolayca bulmanın yolu, grafiği tanımlayan matematiksel denklemin integralini almaktır. x eksenine göre (Δx veya dx yazarak) integralini aldığınızda, x ekseni ile grafik arasında kalan alanı hesaplamış olursunuz. Eğer grafiğiniz hız-zaman eğrisiyse bu size toplam alınan yolu verir. 

Kalkülüs'ün Temel Teoremi'ne göre türev ve integral birbirinin tersidir. Dolayısıyla bir değişkenin önce integralini, sonra türevini alırsanız (ya da tam tersi), değişkenin kendisini elde edersiniz. Aslında bu her zaman doğru değildir; integralin sınırları da önemlidir. Ancak basitçe akılda tutmak için, bu kadar detaya ihtiyacınız şimdilik yok. İkisini birbirinin tersi olarak görebilirsiniz.

Bu konuda daha pek çok söz söylenebilir; ancak umuyoruz ki bu matematiksel terimlerin ne için kullanıldığını anlamanıza katkı sağlamışızdır.

Daha ayrıntılı bilgi için lütfen buraya tıklayınız.